多角形・多面体関係の公式

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【n角形の内角の和】

n角形の内角の和は (n-2)π

従って正n角形のひとつの内角は (n-2)π/n = π - 2π/n になる。

【多面体の面数と頂点数と稜数】

 面数+頂点数−稜数=2 (オイラーの定理)

【正多面体が5種しかないことの証明】

正多面体は同じ形の正多角形がひとつの頂点に集まるから、その内角の総和 は360度より小さくなければならない。また立体を構成するためには最低3つ の多角形を集めなければならない。よって、その構成多角形は5角形以下で ある。正六角形では内角が120度で、これを3つ集めると360度になるからである。

正三角形の場合は内角は60度。3つで180度、4つで240度、5つで300度。
正四角形の場合は内角は90度。3つで270度。
正五角形の場合は内角は108度。3つで324度。

上記が各々正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体になっている。

多面体構成多角形面数稜数頂点数
正四面体(正三角錐)正三角形 4 6 4
正六面体(立方体)正方形 612 8
正八面体 正三角形 812 6
正十二面体 正五角形 123020
正二十面体 正三角形 203012
正六面体と正八面体は双対である。正十二面体と正二十面体も双対である。
正四面体はそれ自身と双対である。

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