カテゴリー

↑

■カテゴリー category

カテゴリー(圏)は一般に集合の上位概念と考えられている。以下はその内容を極めて大雑把に紹介する。


■大雑把な考え方

カテゴリーとは、大雑把に言うと、オブジェクト(object)の集合と、そのオブジェクトの上のアロー(arrow≒関数)の集合の、総合概念である。
ここで各アロー f には定義域(dom=domain)と値域(cod=codomain)が定まる。dom f, cod f は各々オブジェクトになっている。dom f = a, cod f = b である場合、簡易に f:a→b と書く。
各オブジェクト a には単位アロー(id=identity)がある。id:a→a である。
アローは合成可能である。f:a→b, g:b→c である時、f と g を続けて行ったアローは(g o f) a→c となる。


■例

●集合
集合は自然にカテゴリーになる。任意の集合においてその集合の要素をオブジェクト、各々の要素x に対してid(x):x→x をアローの全てとすれば、これはカテゴリーになっている。各要素が自分自身にしか射影せず他の要素と関わりを持たないので、こういうカテゴリーを離散カテゴリー(discrete category)という。離散カテゴリーは集合そのものである。

●整数の行列
整数(実数でもよい)の行列は自然にカテゴリーとなる。整数がオブジェクトの集合で、行列はその間のアローを表す。m×n行列はnからmへのアローと考えられる。合成は普通の行列の掛け算である。 ●集合の集合
任意の集合の集合Vにおいて、Vの要素をオブジェクト、Vの要素間の関数をアローとするカテゴリーが考えられる。この時、アローの合成は普通の関数の合成である。


■定義

<O,A,dom,cod,id,o>がカテゴリーであるとは
・O,Aは集合である。Oをオブジェクト集合(set of objects)、Aをアロー集合(set of arrows)という。
・dom,codはアロー集合Aからオブジェクト集合Oへの関数である。
・idはオブジェクト集合Oからアロー集合Aへの関数で、dom(id(a))=a, cod(id(a))=a である。
・oはA×oAからAへの関数である。ここでA×oAとは{<g,f>|g,f∈A, dom(g)=cod(f)}である。またdom(g o f)=dom(f), cod(gof)=cod(g).

↑



(C)copyright ffortune.net 1995-2016 produced by ffortune and Lumi.
お問い合わせはこちらから