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体 field

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■群 group

 集合Gに演算*が定められていて、次の条件を満たすとき(G,*)は群であるという。

特に、交換法則 a*b=b*a が成り立つ群を可換群という。

■環 ring

 集合Rに演算+と*が定められていて、次の条件を満たす時(R,+,*)は環であるという。

特に*に関しても交換法則 a*b=b*a が成り立つ時、これを可換環という。また、*に関しても単位元を持つ環を単位環という。

環において+を加法、*を乗法といい、加法の単位元を0、乗法の単位元を1で表す。

■体 field

 集合Kに演算+と*が定められていて、(K,+,*)が可換単位環であり更に、Kの0以外の元が*に関して可換群をなす時、Kは体という。

整数の全体は可換単位環である。実数の全体,有理数の全体,複素数の全体は体である。

■線形空間 linear space

体Kと可換群Lがあり、K×L→Lの演算・が定められていて、次の条件を満たすとき、LはK上の線形空間であるという。

この時、この線形空間において、Kをスカラー、Lをベクトルと呼ぶ。
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