行列 matrix

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ベクトルが数を1次元的に並べたものであったのに対して、2次元的に並べたものを行列といいます。

\[ \left( \matrix{ 12 & 36 \cr 27 & 18 \cr } \right) \left( \matrix{ 108 & 144 & 256 \cr 128 & 365& 192 \cr } \right) \left( \matrix{ 48 & 72 \cr 33 & 53 \cr 21 & 88 \cr } \right)\]

横にn行、縦にm列の行列を略してn×m行列といい、特にn=mの場合、n次行列といいます。上記は左から2次行列、2×3行列、3×2行列です。

同じ型の行列同士は自然な加算が定義できます。(aij)+(bij)=(aij+bij) です。例えば
\[ \left( \matrix{ 10 & 20 \cr 30 & 40 \cr } \right) + \left( \matrix{ 5 & 6 \cr 7 & 8 \cr } \right) = \left( \matrix{ 15 & 26 \cr 37 & 48 \cr } \right)\]

また、n×m行列とm×p行列の間には掛け算を定義することができます。 (aij) (bjk) = (Σjaijbjk) です。例えば
(1 2 3 / 4 5 6) x (1 4 7 10 / 2 5 8 11 / 3 6 9 12)
\[ {\small = \left( \matrix{ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 & 1 \cdot 7 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 & 1 \cdot 10 + 2 \cdot 11 + 3 \cdot 12 \cr 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 & 4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 6 & 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 9 & 4 \cdot 10 + 5 \cdot 11 + 6 \cdot 12 \cr } \right)} \] \[ {\small= \left( \matrix{ 1 + 4 + 9 & 4 + 10 + 18 & 7 + 16 + 27 & 10 + 22 + 36 \cr 4 + 10 + 18 & 16 + 25 + 36 & 28 + 40 + 54 & 40 + 55 + 72 \cr } \right)} \] \[ {\small= \left( \matrix{ 14 & 32 & 50 & 68 \cr 32 & 77 & 122 & 167 \cr } \right)} \]

※上記のように左側の行列は横に、右側の行列は縦に見ながら各々掛けて加算していく。

ベクトルが位置あるいは移動を表しているのに対して、行列は回転を表していると考えられます。たとえば原点を中心とした角度θの回転は次の行列で表されます。

\[ \left( \matrix{ \cos\theta & -\sin\theta \cr \sin\theta & \cos\theta \cr } \right) \] 例えば点(1,0)を左に90度回転させると(0,1)に来るというのは次の計算式で表されます。
↑ \[ \left( \matrix{ \cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \cr \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2} \cr } \right) \left( \matrix{ 1 \cr 0 \cr } \right) = \left( \matrix{ 0 & -1 \cr 1 & 0 \cr } \right) \left( \matrix{ 1 \cr 0 \cr } \right) = \left( \matrix{ 0 \cr 1 \cr } \right) \]



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